2023年12月11日
今日の活動
今週はちょっと負荷がある。とりあえずちゃんと朝起きないとまずい。
今日のわんこ
人が唐揚げ食べてるときに膝の上に乗っかってきた。
週末のFF14
色んなジョブを満遍なくレベルあげてるせいで、先週レベル上げたジョブの指の動かし方を忘れたとかよくなってる。
なんとかめでたく全ジョブLv50越えたので、アライアンスルーレットでスキル回し頑張ってくぞ！
Advent Calendar 11日目
よかった、このブログは土日休みで。
ところでさ、みんなは先週の話みてどう思った？
\(\sin{[a, b]} = [\sin{a}, b\cos{a}]\)
\(\cos{[a, b]} = [\cos{a}, -b\sin{a}]\)
\(\sin{[a, b]} \times \cos{[a, b]} = [\sin{a}, b\cos{a}] \times [\cos{a}, -b\sin{a}]\)
\(= [\sin{a}\cos{a}, b\cos{a}\cos{a}-b\sin{a}\sin{a}] \)
カッコの中が2個なの、物足りなくない？という話が今日からの話。
ただ、また足し算とかけ算を定義しなくてはならない。うすうす、\([a, b] + [c, d] = [a+b, c+d]\)と\(t \times [a, b] = [ta, tb]\)はそのままになりそうな気もするが、\([a, b] \times [c, d] = [ac, ad+bc]\)はどうなるのだろう。
突然の話だが\(f(x)\)と\(g(x)\)を\(x=x_o\)の周りでテイラー展開すると下記のようになる。
\(f(x) = f(x_o) + f'(x_o)(x-x_o) + \cdots \)
\(g(x) = g(x_o) + g'(x_o)(x-x_o) + \cdots \)
1次の項までで打ち切って足し算やかけ算をすると
\(f(x) + g(x) = (f(x_o)+g(x_o)) + (f'(x_o)+g'(x_o))(x-x_o) + \cdots \)
\(tf(x) = tf(x_o) + tf'(x_o)(x-x_o) + \cdots \)
\(f(x)g(x) = f(x_o)g(x_o) + (f'(x_o)g(x_o) + f(x_o)+g'(x_o))(x-x_o) + \cdots \)
となる。これの右辺を\(a=f(x_o)\),\(b=f'(x_o)\), \(c=g(x_o)\), \(d=g(x_o)\)とでもしようか。
\(f(x) + g(x) = (a+b) + (c+d)(x-x_o) + \cdots \)
\(tf(x) = ta + tb + \cdots \)
\(f(x)g(x) = ac + (bc + ad)(x-x_o) + \cdots \)
あ！\([a, b] \times [c, d] = [ac, ad+bc]\)と最後の式一緒では！！
1項増やそう。
\(f(x) = f(x_o) + f'(x_o)(x-x_o) + \frac{f''(x_o)}{2!}(x - x_o)^2 + \cdots \)
\(g(x) = g(x_o) + g'(x_o)(x-x_o) + \frac{g''(x_o)}{2!}(x - x_o)^2 + \cdots \)
どうせ後でさっきみたいにa,b,c,dで置き換えるのだ、数式書くの疲れるから今のうちに
\(f(x) = a_0 + a_1(x-x_o) + a_2(x - x_o)^2 + \cdots \)
\(g(x) = b_0 + b_1(x-x_o) + b_2(x - x_o)^2 + \cdots \)
とさせてくれ。あと、もう足し算と定数のかけ算はいいよね。\(f(x)g(x)\)はこうなる。
\(f(x)g(x) = a_0 b_0 + (a_1 b_0 + a_0 b_1)(x-x_o) + (a_2 b_0 + a_1 b_1 + a_0 b_2) (x - x_o)^2 + \cdots \)
ということで、3個のかけ算はこのように定義したいと思う。
\([a_0, a_1, a_2][b_0, b_1, b_2] = [a_0b_0, a_1b_0+a_0b_1, a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2]\)
じゃあn項は……と書きたいところだが体力が尽きた。明日だ。あと本当に今週水曜ぐらいで書くことなくなりそう。残り半分日数あるけど、何を書けばいい？
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