2023年12月7日
今後の活動
最近気づいたのだが、このブログ、Topページの下長くね？そろそろ年毎だか月毎だかにページをわけること考えようかな。
今日の活動
朝マックのコーヒーで店員に砂糖とミルクなしを覚えられる。逆に言えば毎朝この時間から働いてるのすごいな。
今日のわんこ
年末を感じているのかそわそわしてる。
Advent Calendar 7日目
来週水曜までもつか怪しい、来週水曜日にクリスマスになってほしい。
おさらいのコーナー
\([a, b] + [c, d] = [a+b, c+d]\)
\(t \times [a, b] = [ta, tb]\)
\([a, b] \times [c, d] = [ac, ad+bc]\)
\(1/[a, b] = [1/a, -b/a^2] \)
\(\sqrt{[a, b]} = [\sqrt{a}, \frac{b}{2\sqrt{a}}]\)
さて、昨日目があった\(\sin\)関数の話をする前に、重要なことが2つある。
まず、\([a, 0] = a\)である。右側の数字が微少量を意味すると思ってもらえれば、微少量さえなければ、正真正銘の\(a\)だ。
そして、\([0, d]^2 = [0, 0] = 0\)である。これはかけ算の定義見てもらえれば、\(a\)と\(c\)が両方0だと[0, 0]であることがわかると思う。
このことは、やはり右側の数字が微少量を意味するという話につながっている。1次の微少量と1次の微少量をかけ算したら2次の微少量になって0と見なす。そんな雰囲気で捉えてもらえればいい。
これで\(\sin([a, 1])\)を考える準備が整った。
\(\sin([a, 1]) = \sin([a, 0] + [0, 1])\)
そう、左と右で数字をわけた方が式変形としては扱いやすいのだ。
\( = \sin([a, 0])\cos([0, 1]) + \cos([a, 0])\sin([0, 1]) \)
これは加法定理だ。確かに三角関数は未だに扱うことは多いが、加法定理をしたのは久々かもしれない。回転行列とかはよく使う。
\( = \sin(a)\cos([0, 1]) + \cos(a)\sin([0, 1]) \)
さっき言ったことはここで利用した。
続きはテイラー展開を利用する。
\( \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots \)
\( \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots \)
なので、
\( \cos([0, 1]) = 1 - \frac{[0, 1]^2}{2!} + \cdots \)
\( \sin([0, 1]) = [0, 1] - \frac{[0, 1]^3}{3!} + \cdots \)
\(\cdots\)が出てくるのが早いが、先ほど2乗すると0と言ったばかりなので、2項目の時点で既に、0だ。
ついでに\(\cos\)の初項1を[1, 0]と変換しつつ、先ほどの加法定理後の式に代入すると、
\(\sin([a, 1]) = \sin(a) \times [1, 0] + \cos(a) \times [0, 1]\)
\(= [\sin(a), 0] + [0, \cos(a)] \)
\(= [\sin(a), \cos(a)] \)
となり、昨日同様、f([a, 1]) = [f(a), f'(a)]になった。何に使うのか分からないけど嬉しいね。
これと似たようなノリで明日は\(\cos\)、来週は\(\exp\)……としていくと日付は消費できるのだが、進展が遅いのはタイパが悪く、読者のボリューム層であるところのZ世代にウケが悪いと聞いているのでやりません。結果は同じだ。
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